2024年3月14日晚，在国际数学日这个特殊的时间，我院特别邀请复旦大学哲学学院郝兆宽教授为学院“科技伦理与科学哲学讲座”第5期做了题为“概念与可定义性”的学术报告，报告由科学技术哲学研究中心康仕慧副教授主持。

讲座伊始，郝兆宽教授指出，尽管西方哲学传统中逻辑与哲学曾紧密相连，但自逻辑经验主义以来，它们之间产生了隔阂。事实上，逻辑、哲学和形而上学之间的隔阂并不是不可逾越的，通过数学哲学的视角，我们或许能够重新发现这些领域之间的内在联系。郝教授的讲座内容涵盖了从数学基础的历史争论，到康托和弗雷格的理论对比，再到现代集合论的研究成果，旨在从数学基础的发展过程中，探寻“作为概念论的逻辑”这一观点的依据。

在讲座中，郝教授首先指出，19世纪是一个特殊的世纪，大家都在努力为数学奠定一个基础。其中，关于数学基础的两个最重要的方案是：以“集合”作为基本概念的康托的集合论方案、以“概念”作为基本概念的弗雷格的逻辑主义方案。尽管这两个方案后来在面对罗素悖论的打击时，有着不同的命运：康托的方案经过策梅罗的公理化（ZFC），避免了悖论；逻辑主义则由于不能很好的解决悖论，而被认为失败了。但郝教授表明，实际上，康托的方案也并未取得完全的成功，因为这一方案在一开始就面临着连续统问题，即是什么？对连续统问题的解决方案通常会借助于内模型，即从空集开始，按照一定的结构所形成的一个集合宇宙，其中不是给定集合的任意子集都是对象，只有那些可定义的子集才是对象。郝教授认为，对连续统问题的解决不仅回应了弗雷格最初的哲学关切，即弗雷格认为事物的任意堆积，不应该成为理性的对象，理性对象一定有一个理性的原则，也与弗雷格选择“概念”作为基本概念的观点不谋而合，因为如果把可定义性视为概念的一种特质，那内模型中的对象（集合）就是某一概念的外延。

接着，郝教授具体围绕数学基础的康托方案和弗雷格方案之间的历史争论，讨论了概念与集合之间的关系。对于“概念”与“集合”哪个是数学基础概念的争论，康托与弗雷格各执一词。康托在一个书评中批评弗雷格的算术基础，认为“概念外延”量的确定性依赖于事先给出的“数”概念以及“基数”概念，弗雷格试图将“数”概念以及“基数”概念奠基于“概念的外延”这一概念上，完全是颠倒了正确的事情。弗雷格则回应说，康托的批评不适用于他所给出的定义，因为当他用概念外延定义数时，数是一个二阶概念的外延，而非一阶概念的外延，例如木星的卫星数是与“与‘木星的卫星’概念等数”的概念的外延。郝教授认为，为了回答“概念和集合哪一个才是数学基础的基本概念”这一问题，可以从这两个方案在面对困难时，哪个应对的更好来判断。面对罗素悖论，郝教授赞同哥德尔的观点，即对概念来说，悖论显示了垮败，但对集合来说，悖论是误解。由于集合悖论表明不是所有的概念都有一个集合作为它的外延，因此，似乎在这场概念和外延的争论中，集合赢了。通过进一步分析，郝教授指出，弗雷格理论的最大问题在于，弗雷格认为概念的外延是个对象，而概念不是，并要求概念和对象之间一一对应。这也体现在弗雷格所提出的定律，即“两个概念Φ(ξ)和Ψ(ξ)有相同的外延”就表示为：对任意对象a，a落入Φ(ξ)当且仅当a落入Ψ(ξ)，形式化公式为：，其中是概念到概念的外延的映射。尽管后来弗雷格也认为，从两个概念的外延相等得出它们之间的一个等价关系是错误的，必须考虑一些概念没有外延，并用V'（概念F的外延=概念G的外延 当且仅当 对任意对象a，如果a≠ext(F)且a≠ext(G)，a则落入F下当且仅当a落入G下）代替V，但他并未放弃概念而选择集合。

然后，郝教授从现代集合论的发展出发，表明每个集合都是概念的外延。为此，郝教授援引了哥德尔的观点：每个集合都是某个概念的外延，这点并不明显，但是一旦我们有了一种发达的概念论和一种更完全的集合论，这样的结论就可能证明出来。意思是说，集合只能被概念所定义，或集合是谈论概念的一种特定的方法，而这与弗雷格坚持从概念的外延出发的观点是一致的。与此同时，现代集合论有一个非常直观的模型，即“层垒的谱系”，它建立在对超穷序数的归纳之上。从空集开始，令其为V₀；对于每一个后继序数，α=β+1，令Vα=P(V_β)，即取前一层的幂；对于极限序数，则取前面所有层的并；最后，令V是这个超穷层谱并，并被称为“冯·诺依曼宇宙”。郝教授认为，对于这样的宇宙我们有必要怀疑其中混杂了不是集合的对象，因为V包含所有“可能的”集合，甚至一些想象的对象，且V缺乏清晰的结构。而这也可能会导致，康托的连续统假设在这样一个宇宙中找不到答案。郝教授指出，我们应该从对概念的理解出发，来研究作为概念之外延的集合。

最后，郝教授通过将概念限制在数学范围内，从“可定义性”理解概念与集合之间的关系。郝教授指出，在今天的数理逻辑中，逻辑学家们常常会把“可定义性”看作逻辑的核心概念，这在某种意义上可以视为每个集合都是某一概念的外延这一要求的反映。为了找到一个合适的可定义性概念，郝教授列举了集合论中对可定义性概念的两种尝试。第一个尝试是，哥德尔的可构成集的类L。与V不同的是，L在后继序数的步骤中，只增加上一层的那些一阶可定义的子集。因此，L是一个有清晰结构的宇宙，并且L是满足ZFC的同时包含所有序数的最小的模型。但L太细小了，不对可定义性封闭，哥德尔认为事实上可以定义一个不在L中的自然数的子集。第二个尝试是，哥德尔的基于序数可定义性（将序数作为初始项，得到一个只包含序数的可定义性概念，并且这一定义具有语义封闭性）的集合类HOD。郝教授表明，如果“HOD接近真实的集合论宇宙”的猜想是正确的，那么不仅实现了哥德尔的“每个集合都是某一个概念的外延”的想法，也可以视为真正的弗雷格的出路。

郝教授的精彩讲解引发了在场师生的热烈讨论。在提问环节，听众们积极提出问题，内容涉及实在论与反实在论之间的区别、抽象概念的认识论问题、数学哲学的实践意义以及逻辑与现实世界的关系等多个方面。郝教授细致耐心的解答，不仅展现了他深厚的学术功底，也深化了听众对数学哲学的理解、激发了大家对逻辑和数学基础问题的进一步思考。

郝兆宽教授的学术报告无疑为在场的每一位听众带来了一场思想的盛宴。本次讲座不仅是对数学哲学的一次深刻探讨，也是对国际数学日的一次完美致敬！

山西大学哲学学院 李伟供稿