文章来源：《科学技术哲学研究》 2013年第6期
刘杰(山西大学科学技术哲学研究中心，太原030006)
摘要:文章主要考察数学真理困境的结构主义实在论求解方案，通过探寻结构主义实在论的理论根源，分析该求解方案的优势及其存在的问题，为求解困境提供启示。
关键词:结构主义;实在论;数学真理困境
中图分类号:N02 文献标识码:A 文章编号:1674－7062(2013)06－0007－05
数学真理困境对认识抽象数学对象的因果限制要求一直是实在论者无法逾越的障碍。随着不可或缺性论证以及自然主义实在论纷纷陷入困境，一些数学实在论者试图通过赋予数学以新的基础，来揭示数学的本质，从而放弃对数学认识的因果限制要求，为突破数学真理困境找到出路。作为其中最杰出的代表之一，结构主义实在论提出了数学化归为结构的求解策略，他们通过直接提供关于结构的认识论解释，解决实在论者所面临的认识论难题。本文主要考察结构主义实在论的理论来源及其基本思想，分析其求解数学真理困境的具体方案，最后指出这种方案所面临的问题以及它对我们求解数学真理困境提供的启示。
一 结构主义实在论的理论基础
随着抽象代数与现代集合论的发展，结构主义迄今已成为当代数学哲学研究领域中最成功的理论之一，提倡数学的本质不是抽象对象，而是相关对象内在属性的抽象结构关系，是所有系统所共有的结构。其中最有影响的一个分支是以夏皮罗(S．Shapiro)、瑞兹尼克(M．Resnik)等为代表的柏拉图式(或译为先物)结构主义(Ante Rem Structuralism)，也被称为非消除结构主义(Non-eliminative Structuralism)。他们主张数学的本质是抽象结构，并强调抽象结构的实在性。因而，我们称之为数学中的结构主义实在论。
(一)数学本质是结构
结构主义实在论认为，研究数学并不是研究孤立的数学对象，而是研究不同数学对象之间的关系，我们可以把数学对象看成是数学结构中的自在位置。如同夏皮罗所指出的，系统是由具有某种特定关系的对象集合构成，而系统的抽象形式就是结构。结构是对象之间的联结关系，而不关注关系之外的任何其他特征。比如在自然数结构中，可以把任何自然数看成是一间“办公室”，该自然数在不同系统中可以被不同对象占有。人们在表征结构时，可以根据占有位置的不同对象来说明位置本身，在这个意义上“数学对象”只与结构有关，因而应把数学对象看做某结构中的位置，比如数字2就是在自然数结构中的某个位置，它位于1与3之间。任意自然数都可被看做特定无穷模式中的某个位置，所得到的自然数结构即为该特定无穷模式的一种例示。
(二)结构中的位置即数学对象
结构主义实在论者把数学对象看成是结构中的位置。然而，从直觉上讲，对象与结构中的位置之间存在着差别。为了阐明数字、点、集合等都是数学对象，结构主义实在论者认为这种差别仅停留在语言学实践中。因此“位置即对象”(Places－are－objects)，即结构中的位置本身就是对象，而无需任何背景本体的支持。如同任意的恰当名称那样，表示位置的项本身就是一个单称词。例如，我们称中国象棋中的“相”走“田”字，或“相”不能过河到对方阵营。因而，算术就是关于自然数结构的，且任意自然数就是该结构中的位置。把数学结构中的位置看成是一种对象，由此可以为数学语言提供基本的逻辑形式。比如，在算术语言的语句中，句子“1+1=2”或句子“对任意自然数n，都有某自然数m，m＞n”，在字面意义上所指称的都是自然数结构中的位置。因此，在数学中，数学结构的位置就是实在对象。
(三)结构的同一性
结构主义从本质上主张数学对象与其存在性之间存在某种相对性，数学对象与构成它的结构具有紧密联系。贝纳塞拉夫也发表了相似的观点，他指出某些关于同一性的陈述是毫无意义的:“同一性的陈述只有在语境中才有意义，其中存在可能的特定条件……同一性的问题包括:预设了被比较的‘实体’属于相同的范畴。”［1］实在论者赞同这种观点，但相同结构中的位置当然是属于相同的范畴，而且其中存在特定的条件。在他们看来，“对象”和“同一性”的概念是明确的，但完全是相对的。瑞兹尼克沿用了奎因(W．V．Quine)关于本体相对论的观点，认为相对性是非常普遍的，它适用于科学信念的整个网络，而夏皮罗则认为数学与相对性无关。在夏皮罗看来，数学家发现辨识不同结构中的位置是一种方便之举，有时甚至是具有强制性的。比如，在比较自然数结构中的一个位置与它在整数的、有理数的、实数的、复数的结构中的位置关系时，人们采用自然数的策梅罗定义显然是明智的。因为选择自然数的策梅罗定义，意味着自然数2=整数2=有理数2=实数2=复数2+0i，几乎所有事物都更简单。在他看来，两个系统M和N所具有的结构同一是指，存在某更高阶的系统Ｒ，M和N都与Ｒ的某个完全子系统同构。不同结构位置上的同一实质上是某种约定意义上的同一，如自然数结构与实数结构中的“1”并不是真正相同的，而只在约定意义上同一。
在结构主义实在论者那里，结构本身就是本体论的一部分。因此，夏皮罗信守奎因的格言“没有同一性就没有实体”，他指出，给出一种关于结构的同一性概念是十分必要的。任何自然的选择或事实的东西都不存在，只有一些有待选择的概念:“我们把同一性作为原始的东西，同构就是结构之间的全等关系。即当两个结构同构时，我们规定它们是同一的。”［2］90－91
二 结构主义实在论对数学真理困境的求解
要想突破贝纳塞拉夫数学真理困境，实在论者就必须提供为数学对象提供一种合理的认识论解释。因而，对于结构主义实在论者而言，要获得关于数学的知识，就要获得关于结构的知识。他们的策略是，借助模式认知、语言学特性描述以及隐定义这三种方式可以说明对结构的知识。
(一)模式认知
夏皮罗认为，模式认知是某种与普遍感性知觉相似的基本认知能力，是认知主体通过观察模式化系统而得到的，在人类认知初期起着主要作用。
人们首先借助模式认知，可获得关于有限结构的知识。对于任意自然数n，都存在某个结构，该结构的所有例示系统都具有n个对象。如模式2是所有双元素集的共有结构。一对夫妻、一支笔的两端、一双手套都可以例示模式2。我们可以依次定义模式3、模式4等“有限基数结构”。在夏皮罗看来，模式认知可以揭示有限基数结构的自在本质，他把有限基数结构作为自在结构的范式。依据相同步骤，我们可以说明关于有限序数结构的知识。比如，模式序数3是任意具有特定顺序(第一、第二以及第三)的三个对象构成系统的结构。其次，对有限模式认知作适当修正，我们可以进一步说明关于对大有限基数结构以及无穷基数结构的认知过程。即通过对较小结构进行抽象，获得一个认识和理解较大结构的模式。当然，这并不是简单抽象就可以达到的，但人们仍可明确识别、谈论以及计数这些有限基数结构和有限序数结构，通过对可感知模式进行投影，从相同基数的有限集类的共有物中抽象得到关于更大结构的知识，并进一步投影出其可数无穷模式。比如，人们可以通过分析有限模式的结构，得到自然数结构，并进一步把有理数结构看成具有特定关系的自然数对的结构，并依此获知无穷结构。
但是，用简单模式认识方式来说明无穷结构只适用于可数的情况，而数学实践中研究的大部分无穷结构并不可数。针对这一问题，夏皮罗提出另外两种认识结构的方式:语言学特性描述与隐定义。
(二)语言学特性描述依照结构主义实在论，结构取决于构成该结构的不同位置之间的关系。而通过对结构中的位置以及位置间的关系进行语言学特性描述，任何结构都可得到揭示，使之成为一种认知活动的对象。这种方式的优势在于，我们将无需拘泥于记号或类型的模式认知。
关于结构的语言学特性描述如何能表达一个抽象结构，夏皮罗的回应是，二阶戴德金－皮亚诺公理本身足以说明所有ω－数列结构，我们有能力理解关于这个结构的规范公理化描述。语言学特性描述的一致性可以确保该描述至少满足一个结构，而语言学特性描述的范畴性则可确保该描述至多满足一个结构。二者结合起来足以揭示与该描述相对应结构的知识。因此，要获知无限大结构，我们需要阐明该结构的特性描述同时具有一致性与范畴性。具体来看，夏皮罗认为某个语义学特性描述具有一致性，是指它对于集合预设的本体论和认识论而言，能以最佳方式得到例示。比如任何优秀的小说，其中都会创造某个概念或事物，无论该特定事物是否实在，它在与之相关的描述中都具有某种性质或关系。因而，语言学特性描述不仅能够表达某个概念，而且通过对概念的表征与阐释，它还可以说明我们如何具有对初始对象的认知能力。当然，夏皮罗对虚构的结构与实在的数学结构进行了区分。在他看来，柏拉图式的实体不仅满足特性描述的一致性，还满足特性描述的范畴性。只有二者同时得到满足，才能阐明关于结构的全部知识。
这一结论极为重要，但夏皮罗没有给出有力论证，而只是对数学真理困境作了一种保守回应，即任何一致的语言学特性描述都会直接表现出结构的本质，并为其提供一个范例。因此结构主义实在论者的求解方案是，首先为结构提供准确描述，阐明这些结构的存在性，并进一步表明这些结构的存在正如所给出的特性描述一样。
(三)隐定义
在夏皮罗看来，要得到抽象对象，使之成为智力活动的可理解之物，人们就必须能够从概念本身通达至其所例示之物的认知，也就是说，人们必须能够揭示结构的特性描述所具有的范畴性。这一点借助隐定义可以做到，即结构是由数学理论的公理定义的，把握这些公理就可以提供关于该结构的知识，它是认识抽象数学结构的最终方式。正如夏皮罗所述，“至少对于纯数学领域来说，掌握一个结构就等同于理解这个理论的语言。要理解一个结构并具有指出其位置的能力，就等于是需要具有正确使用语言的能力。”［2］137夏皮罗的隐定义与弗雷格的抽象原则类似，即根据相似类的对象之间的等价关系，在相似的意义上，借之以形成新类型对象的同一性条件的概念。隐定义可以成功地描述结构，而且用隐定义描述的结构是柏拉图式的结构，即自在的对象。比如在数论中，我们知道每一个自然数都有一个唯一的后继，0不是任何数字的后继，且满足归纳原则。同样的，在实数分析中，首先要考察被称为“实数”的特定数学对象，认识这些对象之间的特定关系。任何特定的数学对象本身并不重要，有待考察的是对象间的关系以及运算，也就是结构，结构才是我们所要探讨的自在之物。我们能够借助隐定义获知结构。因此，获知数学结构实质上就是理解数学理论的语言，“语言为我们提供了认识数学结构的大门。”［3］
三 结构主义实在论存在的问题
结构主义实在论的基本诉求是要表明他们的结构主义与数学实践是相符合的。夏皮罗一贯强调数学哲学的目标是解释数学，并说明数学在整个智力事业中的地位。尽最大程度如实地解释数学家们所作的研究，这是迫切需要的“忠诚的限制”。［4］结构主义实在论主张所有数学对象都应满足关于数学的结构主义描述。但在数学实践中，关于有些数学对象的认识并不能用结构主义来解释，结构主义实在论甚至与某些数学实践是相悖的。
(一)某些数学对象并非结构
有些结构是定义在某特定集合上的，但该集合本身并不能被看做结构。在当代数学研究中，“集合的结构”这一概念具有广泛应用。一般来讲，通常结构是定义在某个特定集合(并非数学中严格定义下的集合)上，来计算集合中不变量的。如下图所示:
图1结构－集合－不变量关系图
例如，集合在拓扑学中是一个拓扑空间，其结构就是该拓扑空间上的一个向量丛，而不变量是K0群，该群是由向量丛的特定商定义的。为了认识某集合，人们就必须掌握反映该集合的不变量，这就需要在这个集合上构造特定结构。不难发现，结构在此并未发挥关键性作用，相反我们实际上是应用不变量来确定集合性质的。在整个过程中，最为重要的并非结构，而是集合、定义在集合上的特定结构以及反映该集合特征的不变量之间的相互关系。此外，这里的集合又是什么呢?如果像结构主义实在论者所言集合仅仅是一个特定结构中的位置，那么它所具有的独特性质是什么?如果把集合论看成是关于某特定模型的研究，把集合论束缚在一个特定的公理系统中，将不能激发更多的公理以解决现存公理不能解决的问题，从而阻碍数学探究活动的发展。在这种意义上，结构主义实在论对结构本身的强调显然不足以表达所有数学。比如对于什么是一个拓扑群我们可以有多种回答。它是一个包括一个集合、一个在其上的群运算以及一个其上的拓扑构成的有序三元组，也可以是一个包括一个集合，一个其上的拓扑以及一个其上的群运算构成的有序三元组。群论数学家会认为是前者(它是一个群，然后加上了一个拓扑)，拓扑学家则选择后者(它是一个拓扑空间，然后加上了一个群运算)，但是作为一个整体，数学共同体并没有任何偏好。这意味着，任何基础主义的化归都不能涵盖整个数学领域。
(二)同构不同于同一
如前所述，“结构同一性”在说明我们如何能够得到关于数学对象的知识时发挥着重要作用。但实际情况是，一些同构的对象在数学实践中并不同一。比如－1的两个平方根:i和－i。由于二者具有相同的结构，依照“结构同一性”，会得出i=－i，这显然是矛盾的。因此，同构不会简单地等同于同一。要想进一步区分自同构系统(如复数系)与数学中的诸多非刚性结构，必须重新引入非结构属性，即承认某种实体的存在性。也就是说，数学至少在某些情况下是关于系统的、而非单纯关于结构的学科，这一事实是夏皮罗不得不承认的。
(三)结构中的位置不同于对象
结构主义实在论主张数学对象与结构有关，数学对象是结构中的位置。但关于数学对象的这种描述是有问题的。由于数学实践是一个持续的行为，它要求人们对数学对象的理解具有一致性，因此对于结构主义者来说，如果想要坚持对数学实践的“忠诚”，就必然会把具有同一性的对象当成不同对象。依照结构主义实在论，结构中的位置是具有结构相关性的，我们只有通过在结构中定义的关系与函数才能对结构中的位置进行区分。但是，我们无法给出结构中位置之间的同一性标准，甚至不可能给出关于这些位置的知识。
下面我们不妨以数学实践中的实例来说明如何对结构中的对象进行区分。一般有两个步骤:第一步，关于一个结构中对象的陈述可以通过把它置于一个较大结构中得到证明，夏皮罗可以提供与之相关的说明;第二步，用夏皮罗的结构主义实在论说明如何区分对象。比如定理“不可约的实系数多项式的次数最高为二次”，我们通过考察复系数的多项式可以证明它，即首先证明任意多项式都具有一个根，然后证明如果一个复数是一个多项式的根，那么它的复共轭也是一个根。二者结合起来可知上述定理得证。夏皮罗承认这是一种常见的数学实践。对于自然数的某个性质p，可以通过考察它作为实数结构的部分来证明p。较大的结构中包含一个与较小结构的同构像，像的性质同样满足较小的结构。同构的系统是等价的，如果B与B'同构，则满足其中之一的任意语句，也满足另一个。夏皮罗始终坚持不同结构中的位置是不同的，数学对象与构成它们的结构相关联。［4］
在上述例子中，夏皮罗并没有把实系数的多项式看成是复系数多项式结构中的一部分，而只是强调二者之间存在同构性，但在数学实践中人们将断言它们是同一的。夏皮罗要想保持与数学实践一致，就必须构造越来越大的结构。然而，这些被构造出来的新结构与被结构主义实在论者作为数学本质的结构是否相同?如果不同，那么新旧结构之间的区别又在哪里呢?事实上，究竟哪个结构才是结构主义实在论者作为确定数学对象的结构并不清楚。
(四)认知模式中存在的问题
结构主义实在论者对如何认识结构的解释也存在问题。根据夏皮罗的模式认知，认知主体S通常以简单模式获知一个基数结构序列，如自然数数列。该序列的定义是:一个域的初始元素以及该域所包含任意元素的后继构成的子集包含所有的元素。通过为该序列加入一个后续最长序列，我们可以得到自然数数列的扩展。但在这一扩展过程中，S并不知晓其中隐含的一个普遍事实:即所有有限基数结构都具有共同的ω－序列模式。当然，S之后会逐渐形成一种普遍信念，并发现每个基数结构都有唯一的后续最长序列，由此能确信上述有限基数结构事实上形成了一个ω－序列。否则S将不能确信基数模式的扩展是否超出他对基数结构所能达到的例示。于是结构主义实在论者需要说明如何从特定知识，比如皮亚诺算术、ZF等推出一般数学知识所使用的原则。这些原则显然是更为重要的，因为如果不能得到解释，就不能确保可以用有限结构来描述由其扩展得到的无穷结构的特征。人们或许会坚持认为，认知主体把关于特定结构的知识映射到关于一般结构的知识上，但必须承认这只是后见之明。结构主义者典型地使用二阶ZFC作为一个对应物，然而如果不存在公理的确定集合，那么将全序域公理与分析进行对比，或者对算术施加二阶皮亚诺假设如何可行，都需得到具体说明。
为了克服以上困难，夏皮罗进一步提出用语言学特性描述来说明对数学结构的认知，即说明对数学结构的特性描述所具有的一致性与范畴性，特性描述的一致性与范畴性实质上就是结构本身的存在性。但一个描述是否具有一致性与范畴性，取决于数学自身。关于一致性与范畴性的概念本身在集合论中都得到了很好诠释，这意味着要说明某个描述的一致性与范畴性，要求为其在集合论中建立模型，所有问题都需借助集合论解决。这种策略对于结构主义者而言显然是循环论证，即人们如果没有关于某数学实体的集合论，就无法说明某结构的特性描述是否一致与具有范畴性，无法为其结构主义实在论提供有力辩护，而另一方面，如果他们诉诸数学实体的集合论，又会与其结构主义的基本立场相冲突。
夏皮罗试图借助“一致性”来挑选满足要求的公理系统。但这种一致性概念同样不能解释:借助公理系统的一致性所得到的结构是什么?与之相应的集合又是什么?语言学特性描述可以阐释在现实中不可能、而在物理上有可能得到表征的结构，但并不能因此认为表征这种结构能确证与不具有物理表征的数学理论相对应的任何结构。
结 语
在数学实践中，真正需要得到阐释的是被研究的数学系统与结构之间的关系。比如在代数拓扑学中，某对象有可能是不同结构中的位置。该对象应置于哪一结构之中，这取决于数学实践的具体需要。数学不仅仅是处理结构的科学，结构不足以表达所有数学。数学的产生和发展都是自然的、语境化过程，数学公理、数学定理以及数学理论本身并不需要任何新的诠释。在这个意义上，求解数学真理困境，并不是要为数学提供任何新的基础，而应揭示数学对象、结构与数学系统之间整体关系，并给出与之相契合的认识论说明。
【参考文献】
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［3］Shapiro S．Structure and Ontology［J］．Philosophical Topics，1989(17):45－71．
［4］Shapiro S．Structure and Identity in Modality and Identity［M］//MacBride F．New Essays in Metaphysics and the Philosophy of Mathematics． Oxford: Oxford University Press，2006:109－145．
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